Indice de difficulté (d'un item)
Différentes procédures peuvent être utilisées pour exprimer le degré de difficulté d'un item administré à un groupe ou à une population de référence.
Dans le cas d'items donnant lieu à une appréciation dichotomique du type juste – faux (et cotées 0 ou 1), la difficulté de l'item est exprimée par la proportion d'échecs (ou sa "facilité" par la proportion de réussites). Si on désigne par P l'indice de difficulté, on aura:
où ne désigne le nombre d'individus ayant échoué l'item et n le nombre total d'individu qui ont répondu à ce même item (réussites + échecs).. L'indice ainsi obtenu se situe entre 0 et 1, et l'item sera réputé d'autant plus difficile que la valeur de P est proche de 1.
(Dans certains ouvrages, l'indice de difficulté est défini comme le rapport entre le nombre d'individus qui réussissent l'item et le nombre total d'individu. Sous cette forme, toutefois, son appellation n'est pas très appropriée, car il s'agit d'une mesure qui renseigne sur la "facilité" plus que sur la difficulté de l'item).
Lorsque l'indice de difficulté est calculé sur des items à choix (deux ou plusieurs options de réponse dont une seulement est correcte), une correction est parfois introduite pour tenir compte du fait qu'une certaine proportion de réponses correctes peut être due au hasard. On calcule alors l'indice P' (P corrigé) de la manière suivante:
où P est la proportion d'échecs et k le nombre d'options de réponse (la réponse correcte + les distracteurs) prévues par l'item.
Cette correction n'est pas nécessaire pour comparer le niveau de difficulté d'items semblables; elle est en revanche utile lorsque l'on souhaite comparer la difficulté d'items ne prévoyant pas tous le même nombre d'options de réponse. On retiendra également que l'indice P' peut parfois assumer des valeurs négatives. Celles-ci seront alors remplacées par zéro (niveau de difficulté le plus faible).
Enfin, si la cotation de l'item prévoit un nombre de catégories supérieur à 2 (par exemple 0 - 1 - 2 points sur une échelle supposée quantitative), on calcule l'indice de difficulté en appliquant la formule ci-après, où m est la moyenne des scores sur l'item pour l'ensemble des individus et S max le score maximum possible (2 dans le cas qui vient d'être évoqué):
Il est facile de constater que cet indice varie entre 0 et 1, la difficulté de l'item étant considérée d'autant plus élevée que sa valeur est proche de 1.
D'autres procédés reposant sur les mêmes principes sont parfois présentés dans la littérature. On retiendra également que la question relative à la difficulté des items est abordée à travers une approche mathématique plus complexe dans le cadre de la théorie des réponses aux items.
