RALLYE MATHÉMATIQUE TRANSALPIN
	9e RALLYE ; Epreuve d'essai ; décembre 2000

1. LE TROU (Cat. 3 )

Combien manque-t-il de briques dans ce mur ? Expliquez comment vous avez trouvé.

2. LE PETIT POUCET ET SES FRÈRES (Cat. 3 - 4)

Le Petit Poucet et ses quatre frères marchent dans la forêt, en file indienne. Le Petit Poucet est le dernier de la file et sème des miettes de pain pour retrouver le chemin du retour.

André est avant Bernard.

Joseph est avant Mario.

Il y a un seul des frères entre André et Mario.

Dans quel ordre marchent le Petit Poucet et ses frères ?

Y a-t-il plusieurs solutions ?

Donnez votre solution (ou vos solutions) et expliquez votre raisonnement.

3. LES ABSENTS (Cat. 3 - 4 - 5)

Jules a décidé d'écrire tous les nombres de trois chiffres formés avec des chiffres "3", "5" ou "7". Voici les 10 premiers qu'il a trouvés :

Combien d'autres nombres peut-il encore trouver ?

Ecrivez tous les absents, formés avec des "3", des "5" ou des "7".

4. FAMILLE NOMBREUSE (Cat. 3 - 4 - 5 )

Dans la famille Dupont, les garçons ont chacun 2 frères et les filles ont chacune 3 soeurs.

Combien Mme et M. Dupont ont-ils d'enfants, filles et garçons?

Expliquez votre réponse

5. CHEMIN D'ALLUMETTES (Cat. 3 - 4 - 5 - 6)

Combien y a-t-il de chemins différents qui mènent de A à B en suivant exactement 5 allumettes? Dessinez les chemins que vous avez trouvés.

6. RIBAMBELLE (Cat. 4 - 5 - 6)

Sophie a 5 boîtes d'allumettes qui contiennent chacune 36 allumettes. Pour construire les cinq premiers bonshommes de cette ribambelle elle a déjà utilisé plus d'une boîte. Elle décide de la continuer jusqu'à sa dernière allumette.

Combien de bonshommes complets y aura-t-il dans sa ribambelle, lorsqu'elle aura utilisé toutes les allumettes de ses 5 boîtes ?

Justifiez votre réponse.

7. CLASSE SPORTIVE (Cat. 4 - 5 - 6 - 7)

Il y a 23 élèves dans la classe de Jean.

15 d'entre eux font du ski et 10 de la natation. Il n'y a que trois élèves qui ne font aucun sport.

Combien d'élèves font-ils du ski et de la natation?

Expliquez votre réponse.

8. LES TROIS AMIES (Cat. 5 - 6 - 7)

Trois anciennes amies d'enfance, qui habitent chacune une ville différente, se retrouvent et parlent de leurs enfants:

- Anne et son amie de Neuchâtel ont les cheveux courts.

- Berthe et la mère des triplés boivent du thé.

- Claire n'a qu'un enfant.

- Celle qui habite Lausanne a deux enfants.

Quel est le prénom de celle qui habite Genève ? Combien d'enfants a-t-elle?

Expliquez votre réponse.

9. RECTANGLE À PARTAGER (Cat. 5 - 6 - 7 - 8)

Ana aurait voulu partager ce rectangle en deux trapèzes et un triangle isocèle, tous les trois de même aire. Mais elle n'y est pas parvenue! Les deux trapèzes ont bien la même aire mais ils n'ont pas la même aire que le triangle. Et vous, auriez-vous pu effectuer ce partage ? Comment ? Justifiez votre réponse.

10. OPÉRATIONS EN CHAÎNE (Cat. 6 - 7 - 8)

A partir du nombre 100, on effectue une seule fois chacune des quatre opérations :

additionner 8 ; soustraire 12 ; multiplier par 3 ; diviser par 4

Dans quel ordre faut-il effectuer ces quatre opérations pour obtenir le plus petit nombre possible au bout de la chaîne ? Et le plus grand ?

Par exemple, si on commence par la division et si l'on continue par l'addition, la multiplication et la soustraction, on obtient 87, mais on peut obtenir des nombres plus petits.

A vous de jouer !

Notez tous vos essais.

11. MONNAIES DE TRANSALPIE (Cat. 6 - 7 - 8)

Au royaume de Transalpie, il n'y a que des pièces de 4 FL et des billets de 7 FL. (FL désigne le franc-lire).

Tous les prix affichés doivent pouvoir être payés sans devoir rendre la monnaie.

La marchande du kiosque ne peut pas vendre de glaces à 1 Fl, 2 FL et 3 FL. Son plus petit prix est de 4 FL.

Le directeur du Prisunic ne peut pas afficher de prix à 10 FL parce qu'on ne peut pas a arriver sans devoir rendre de monnaie. Mais il peut proposer des prix "Tout à 11 FL", que les clients payeront avec une pièce et un billet.

Pour aider les commerçants du royaume de Transalpie, écrivez la liste de tous les prix possibles (en bleu) et de tous les prix impossibles (en rouge), de 1 à 50 FL.

Expliquez comment se payent les prix possibles.

12. BALANCES (Cat. 7 - 8)

Mathieu possède douze billes, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L. Elles ont toutes le même poids, sauf une.

Il a effectué trois pesées sur une balance à plateau, dont voici les résultats :

Quelle est la bille qui est différente des autres ?

Est-elle plus lourde ou plus légère ?

Expliquez votre raisonnement.

13. LA VENDANGE (Cat. 7 - 8)

C'est l'époque des vendanges. Chaque vendangeur reçoit, pour une journée de 8 heures de travail une somme de 120 francs et une caisse de raisin.

Ce jour-là, après avoir travaillé 5 heures, Paolo a dû retourner chez lui. Pour son travail, il a reçu 60 francs et une caisse de raisin.

Quelle est la valeur d'une caisse de raisin ?

Expliquez votre raisonnement.

14. CALENDRIER PARTICULIER (Cat. 8)

On écrit les nombres naturels dans un tableau de sept colonnes.

On écrit une ligne dans un sens, puis une ligne dans l'autre sens, et ainsi de suite:

Remplissez la ligne où devra être écrit le nombre 2000 :

Expliquez comment vous avez trouvé.

15. PHRASES À COMPLÉTER (Cat. 8)

Comment pouvez-vous compléter chacune des phrases de ce cadre par un nombre écrit en chiffres, de sorte que les quatre affirmations soient vraies.

Expliquez votre raisonnement.

Rappels importants :

L'épreuve d'essai devrait se dérouler dans les mêmes conditions que les autres épreuves, en 50 minutes, sans aucune intervention extérieure. Il est donc nécessaire d'expliquer clairement qu'on n'accepte qu'une seule solution par problème pour la classe.

Dans le RMT, il n'y a pas que la réponse juste qui compte, c'est aussi la qualité des explications et la rigueur scientifique des raisonnements qui sont prises en compte.

Il faut insister sur ce point auprès des élèves après l'épreuve d'essai et attribuer autant de valeur aux explications qu'aux réponses justes.

Il faut aussi faire comprendre aux élèves qu'il ne s'agit pas seulement de se répartir les problèmes entre les différents groupes, mais d'effectuer un contrôle des solutions. Par exemple, chaque problème devrait être traité au moins par deux groupes pour qu'il y ait confrontation avant de choisir la solution et ses explications qui seront choisies par la classe.

Les problèmes de cette épreuve sont repris d'anciennes épreuves. Les enseignants ont la possibilité de les modifier ou d'en remplacer certains par d'autres. Ils peuvent également reprendre une ancienne épreuve.

La passation, l'évaluation et l'analyse de l'épreuve sont sous l'entière responsabilité des enseignants. La décision de participer au 9e RMT doit être prise par la classe, en accord avec l'enseignant.

Réponses et commentaires :

1. Il y a plusieurs manières de dénombrer les briques pour des adultes : par rangs (7 x 4) +(2 x 5) + (1 x 6) = 44, une à une par dessin, par soustraction (12 x 8) - 52.

Le dessin pose parfois des problèmes de régularité en 3e année, il peut y avoir des déformations d'un rang à l'autre entraînant un changement du nombre de briques entières d'une ligne à la suivante ! Dans les justifications, il faut encourager les écritures des nombres, du genre : 4 + 4 + 4 + 5 + ....

2. Il y a deux solutions et c'est là l'enjeu du problème : A - J - M - B pp et J - A - B - M - pp

L'inventaire écrit des différentes ordres à envisager, avec les raisons pour lesquelles certains doivent être éliminés est une bonne justification.

3. Pour ne pas oublier l'un des 17 nombres (sur 27) , il faut de l'ordre! Et des traces écrites. Par exemple :

333 335 337 353 355 357 373 375 377

533 535 537 553 555 557 573 575 577

733 735 737 753 755 757 773 775 777

4. Il y a 3 garçons et 4 filles, c'est-à-dire 7 enfants.

5. On peut dessiner les 8 chemins de couleurs différentes, mais attention aux superpositions !

Des démarches ordonnées sont plus sûres par exemple : (h : horizontal et v : vertical)

h-h-v-h-v h-h-v-v-h h-v-h-h-v h-v-h-v-h h-v-v-h-h

v-h-h-h-v v-h-h-v-h v-h-v-h-h

6. Sur 180 allumettes (5 x 36), il en reste 171 lorsque le premier bonhomme est construit (180 - 9). Avec 7 allumettes pour les suivants, on peut faire encore 24 bonshommes complets 171 = (24 x 7) + 3.

Il y aura donc 25 bonshommes complets et un reste de 3 allumettes.

Mais la recherche n'est pas aussi aisée qu'il n'y paraît. Les justifications à l'aide d'opérations arithmétiques sont importantes. Il y a le concept de division euclidienne dans cette activité ou celui de suite 9, 9 + 7, 9 + (2 x 7), 9 + (3 x 7), 9 + (4 x 7), .... ou encore celui d'application.

7. Il y a 5 élèves qui font les deux sports. Les élèves doivent se rendre compte que ceux-ci (à la fois skieurs et nageurs) seraient comptés deux fois si on additionnait 3, 10 et 15.

8. Anne, de Genève, a 3 enfants - (Berthe : Lausanne, 2 enfants - Claire : Neuchâtel, 1 enfant)

Les solutions peuvent venir d'une organisation en tableau ou d'hypothèses non contredites.

9. Il y a plusieurs solutions possibles et c'est dans leur recherche que réside l'enjeu du problème. L'aire totale étant de 12 x 16, l'aire de chaque partie sera de (12 x 16)/3 = 64, ce qui, pour le triangle isocèle donne les possibilités suivantes (base x hauteur = 128) : 16 x8; 12 x 32/3, chacune dans deux positions différentes.

10. Il y a 24 cas à envisager, dont certains s'éliminent. Il reste 13 nombres possibles à l'arrivée, dont le minimum est 45 et le maximum 90.

11. Les prix possibles sont les combinaisons linéaires de multiples de 4 et de 7 :

4 - 7 - 8 - 11 - 12 - 14 - 15 - 16 - 18 -19 -... les seuls prix impossibles sont 1 - 2 - 3 - 5 - 6 - 9 - 10 - 13 et 17

12. La balance du milieu indique que A, E, F, G, H, J, K, L. sont de même masse. 4 d'entre elles se retrouvent sur le plateau de droite de la première balance et on peut en déduire que B, C ou D a une masse différente et plus faible. La troisième balance montre que C est la boule cherchée, plus légère que les autres.

13. La valeur d'une caisse est de 40 francs. On peut la déterminer par un système de deux équations mais aussi par des raisonnements arithmétiques plus simples.

14. La période est de 14. Or 2000 = (142 x 14) + 12 = 1988 + 12. En complétant le tableau à partir de 1989, on obtient , pour la dernière ligne : 2002 - 2001 - 2000 - 1999 - 1998 - 1997 - 1996.

15. Il y a deux solutions à ce problème d'autoréférence :

3 - 1 - 3 - 1 ou 2 - 3 - 2 - 1 dans la colonne des nombres de chiffres.