8e RALLYE ; Epreuve d'essai ; décembre 1999

LA BOITE DE SUCRE

Combien y a-t-il de morceaux dans cette boîte de sucre lorsqu'elle est pleine ?

Expliquez comment vous avez trouvé.

CARRES

Il y a beaucoup de carrés dans cette figure, de plusieurs grandeurs. Combien en voyez-vous? Expliquez comment vous les avez comptés.

Catégories 3 et 4, Début catégorie 5

NOMBRES INCONNUS

Sophie écrit un nombre de deux chiffres.

Paul recopie ce nombre mais en changeant l'ordre des deux chiffres.

Le nombre de Paul vaut 27 de plus que celui de Sophie ?

Quel nombre Sophie peut-elle avoir écrit ?

Indiquez toutes les possibilités et expliquez pourquoi elles sont justes.

Catégories 3, 4 et 5, Début catégorie 6

PANIER DE FRUITS

Dans un panier, il y a des fruits.
Tous sont des pommes, sauf deux.
Tous sont des oranges, sauf deux.
Tous sont des ananas, sauf deux.

Combien y a-t-il de fruits dans ce panier, et quels sont-ils ?

Justifiez votre solution.

QUELS SACS

Est-il possible de répartir 44 billes dans 10 sacs: 3 sacs rouges et 7 sacs jaunes, de sorte que tous les sacs d'une même couleur contiennent le même nombre de billes?

Expliquez votre réponse!

6. PENTAMINOS

Dans la grille ci-dessous, de 40 cases (10x4), on a dessiné 4 pentominos de même forme, qui recouvrent tous exactement cinq cases de la grille.

Mais on aurait pu en dessiner plus, en les disposant mieux.

Combien arriveriez-vous à dessiner de pentominos de cette même forme, au maximum, sur cette grille ?

LA TACHE

Toto a renversé la marmite de confiture sur la belle nappe à pois de la cuisine.

Combien y a-t-il de pois entièrement recouverts par la confiture?

Indiquez comment vous avez trouvé votre solution.

A TABLE

Six enfants sont assis autour d'une table ronde.

Amélie n'est pas à côté d'un garçon.
Benoît est juste en face de Delphine et à gauche de Frédéric.

Entre qui est assise Elodie?

Entre qui est assis François?

Catégorie 5, 6, Début catégorie 7 et 8

LA CARAVANE

Trois chameliers conduisent chacun trois chameaux.

Sur chaque chameau, il y a trois paniers.
Dans chaque panier, il y a trois chattes.
Et chacune des chattes est accompagnée de trois chatons.

Cela fait beaucoup de pattes ou de jambes.

Combien en comptez-vous, en tout, dans cette caravane?

Expliquez votre réponse.

Fin catégorie 5

OPERATIONS EN CHAINE

On part du nombre 100.
On effectue à la suite, une seule fois chacune des quatre opérations :

Quel est le plus petit nombre qu'on peut obtenir dans le dernier cercle ?

LES CROQUETTES

100 croquettes ont été réparties dans 5 assiettes.

dans la 1e et la 2e assiettes, ensemble, il y a 52 croquettes,
dans la 2e et la 3e assiettes, ensemble, il y a 43 croquettes,
dans la 3e et la 4e assiettes, ensemble, il y a 34 croquettes,
dans la 4e et la 5e assiettes, ensemble, il y a 30 croquettes,

Combien de croquettes y a-t-il dans chaque assiette ?

Expliquez comment vous avez trouvé votre solution. Notez tous vos calculs.

A BAS LES PROF.

Quatre élèves sont resté dans la classe pendant la récréation, l'un d'eux a écrit "A bas les prof." au tableau noir.

Lorsque le professeur rentre en classe, il demande : "Qui a écrit ça ?"

Paul, qui porte des lunettes, dit : "c'est une fille."
Marie, qui ne porte pas de lunettes : "ce n'est pas moi."
Françoise, qui porte des lunettes : "c'est quelqu'un qui ne porte pas de lunettes."
Jacques, qui n'a pas de lunettes : "c'est quelqu'un qui porte des lunettes."

Un seul des élèves a menti. Les trois autres ont dit la vérité.

Qui a menti et qui a écrit au tableau noir ?

Expliquez votre raisonnement.

BASSE-COUR

En passant devant une basse-cour, je vois des lapins et des poules. La fermière, à qui je demande combien il y a des uns et des autres me répond : "il y a 200 têtes et 656 pattes".

Combien y a-t-il de poules et de lapins ?

Expliquez votre démarche et justifiez votre réponse.

BORDURES

Mombo Tapie est fabricant de couvertures quadrillées. Il aimerait créer un modèle "égalité" qui a autant de carrés gris touchant le bord que de carrés blancs à l'intérieur.

Son apprenti Amal lui a proposé ce modèle qui, malheureusement, ne convient pas, car il a 15 carrés blancs intérieurs et 20 carrés gris sur la bordure.

Est-il possible de créer des tapis avec autant de carrés gris sur le bord que de carrés blancs à l'intérieur ?

Combien ?

Expliquez votre réponse

LA PLUS PETITE DIFFÉRENCE

La grille A est partagée en deux régions par une ligne épaisse.

Lorsqu'on additionne les nombres de chacune de ces régions, on constate que la différence entre les deux sommes obtenues est 11.

A	B

Mais il est possible de trouver une différence plus petite en traçant d'autres lignes qui partagent la grille en deux régions en suivant les traits du quadrillage.

Dessinez une nouvelle ligne de partage, en rouge, sur la grille B, telle que la différence soit la plus petite possible.

Expliquez comment vous avez procédé.

PHRASES À COMPLÉTER

Comment pouvez-vous compléter chacune des phrases de ce cadre par un nombre écrit en chiffres, de sorte que les quatre affirmations soient vraies.

Expliquez votre raisonnement.

Solutions :

(Non garanties ! quelques erreurs ou oublis sont toujours possibles)

1. Il y a 60 (4x3x5) morceaux de sucre dans la boîte pleine.
2. On peut voir 30 carrés dans la figure (1 de 4x4, 4 de 3x3, 9 de 2x2 et 16 de 1x1)
3. Il y a 6 solutions : 69, 58, 47, 36, 25, 14.
4. Il n'y a que trois fruits dans le panier : une pomme, une orange et un ananas
5. Il y a deux solutions : 3 sacs rouges de 3 billes et 7 sacs jaunes de 5 billes 3 sacs rouges de 10 billes et 7 sacs jaunes de 2 billes
6. Le maximum est 6 (à vérifier)
7. Il y a (7 x 12) + (6 x 11) = 150 pois au total les visibles sont 48, les pois cachés sont 150 - 48 = 102
8. Elodie est entre Amélie et Benoît, François est entre Frédéric et Delphine. Une seule possibilité.
9. 3 hommes, 9 chameaux, 81 chattes et 243 chatons font (3 x 2) + (9 + 81 + 243) x 4 = 1338 pattes
10. C'est 69 = (((100 + 8) : 4) - 4) x 3, viennent ensuite 71, 73, 74, ...
11. 1ère : 27 ; 2e : 25 ; 3e : 18 ; 4e : 16 ; 5e : 1 (on peut résoudre un système d'équation mais on peut aussi savoir immédiatement combien il y en a dans la 5e, à partir de la première et troisième donnée, etc.)
12. C'est Françoise qui a menti et qui a écrit au tableau noir
13. Il y a 128 lapins et 72 poules
14. Il n'y a que deux modèles : rectangles intérieurs blancs de 3 x 10 ou 4 x 6 (tapis de 5 x 12 ou 6 x 8)
15. Il y a de nombreuses solutions avec une différence de 1 (148 et 149) (On peut accorder un "bonus" à ceux qui donnent plus d'une solution optimale)
16. Il y a deux solutions (3,1,3,1) et (2,3,2,1).

Rappels importants :

• L'épreuve d'essai devrait se dérouler dans les mêmes conditions que les autres épreuves, en 50 minutes, sans aucune intervention extérieure. Il est donc nécessaire d'expliquer clairement qu'on n'accepte qu'une seule solution par problème pour la classe.
• Dans le RMT, il n'y a pas que la réponse juste qui compte, c'est aussi la qualité des explications et la rigueur scientifique des raisonnements qui sont prises en compte.
• Il faut insister sur ce point auprès des élèves après l'épreuve d'essai et attribuer autant de valeur aux explications qu'aux réponses justes.
• Il faut aussi faire comprendre aux élèves qu'il ne s'agit pas seulement de se répartir les problèmes entre les différents groupes, mais d'effectuer un contrôle des solutions. Par exemple, chaque problème devrait être traité au moins par deux groupes pour qu'il y ait confrontation avant de choisir la solution et ses explications qui seront choisies par la classe.
• Les problèmes de cette épreuve sont repris d'anciennes épreuves. Les enseignants ont la possibilité de les modifier ou d'en remplacer certains par d'autres. Ils peuvent également reprendre une ancienne épreuve (On peut reprendre des problèmes des 5e, 6e ou 7e RMT, publiés de 1997 à 1999 dans Math-Ecole : no 176, 177, 181, 182, 186 et 187.)
• La passation, l'évaluation et l'analyse de l'épreuve sont sous l'entière responsabilité des enseignants. La décision de participer au 8e RMT doit être prise par la classe, en accord avec l'enseignant.