A Propos de l'épreuve d'essai, 10e RMT

Rappels importants

La passation, l'évaluation et l'analyse de l'épreuve sont sous l'entière responsabilité des enseignants. La décision de participer au 10e RMT doit être prise par la classe, en accord avec l'enseignant.

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Pour des informations complémentaires sur le RMT: consultez Math-Ecole numéros 199 ou 200 ou consultez les autres pages du site.

Commentaires sur les problèmes "Best of RMT"

A côté de chaque titre, figure l'origine du problème:

- numéro de l'édition du Rallye mathématique transalpin,

- épreuve au sein de l'édition (I: épreuve I, II: épreuve II, F: finale),

- numéro du problème au sein de l'épreuve,

et des articles de référence sur le problème publiés dans:

- A: les actes des journées du RMT de Brigue (1997-1998),

- B: les actes des journées du RMT de Siena et Neuchâtel (1999-200),

- M-E ... numéro correspondant de Math-Ecole

1. Tous sportifs (3RMT I problème 5, réf: A)

Domaine de connaissances
- Logique et raisonnement

Analyse de la tâche

- Comprendre que certains élèves font de l'athlétisme, d'autres du basket et d'autres encore font les deux sports à la fois du basket;

- en déduire, que, de la somme de 16 + 10 , il faut retirer les quatre élèves comptés deux fois.

Observations
L'analyse des résultats a montré que la plupart des classes font l'opération 16 + 10 - 4 ou donnent l'explication correspondante par une phrase.

Des diagrammes de Venn apparaissaient encore en 1995 car les classes les avaient étudiés à cette époque. Il sera intéressant d'observer maintenant quels sont les supports graphiques que les élèves utiliseront spontanément, s'ils en éprouvent le besoin.

2. Puzzle (2RMT II problème 9)

Domaine de connaissances
- Géométrie: pavage, figures isométriques

Analyse de la tâche

- Procéder par essais successifs sans ordre;

- ou compter les carrés et se rendre compte que chaque doit être composée de 5 carrés, puis essayer les formes possibles de 5 carrés

Observations
Le problème est assez facile. On peut tomber par chance directement sur la solution, on peut aussi multiplier les essais. La partie droite de la figure donne une bonne indication sur la forme de la pièce, en "M2".

3. Les trois maisons (6RMT1 problème 5)

Domaine de connaissances
- Géométrie: positions relatives
- Logique et raisonnement: organisation d'une recherche déductive

Analyse de la tâche

- Lire les données comprendre que sont en jeu trois maisons, trois personnages, trois métiers et trois couleurs, s'excluant mutuellement;

- organiser la recherche par des tableaux, des dessins, des informations complémentaires notées sur les trois maisons, des essais successifs

- émettre des hypothèses et retenir ou noter les premières conclusions afin d'en tenir compte dans la suite de la recherche;

- arriver à la conclusion que l'Italien est épicier, que la maison jaune est à droite, que le pharmacien n'est ni l'épicier ni le boucher et habite par conséquent dans la maison du milieu, rouge et qu'il est français.

Observation
C'est au travers des représentations et des explications écrites que s'évaluent les compétences des élèves à organiser les informations. On trouve souvent des raisonnements bien justifiés du genre: "L'épicier n'est ni suisse, ni français, il est donc italien".

On peut aussi juger de l'organisation en observant les pistes (hypothèses) abandonnées car elles ont conduit à une contradiction. Un tableau dont les maisons constituent la première ligne, est une réponse fréquente.

4. La cible (1RMT F problème 4)

Domaine de connaissances
- Arithmétique: sommes et produits de nombres naturels

Analyse de la tâche

- Comprendre la manière de compter les points, selon les zones de la cible;

- chercher comment atteindre des sommes de 40 avec les termes 5, 7 et 11:

40 = 11 + 11 + 11 + 7 = (4 termes)

= 11 + 7 + 7 + 5 + 5 + 5 = (6 termes)

= 7 + 7 + 7 + 7 +7 + 5 = (6 termes)

= 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 (8 termes)

- parmi les possibilités trouvées, identifier celles qui ont le même nombre de termes (6) et déterminer celle des deux enfants (Jeanne: une fois 11, deux fois 7 et trois fois 5; Guillaume: cinq fois 7 et une fois 5).

Observations
Les procédés sont multiples, de la recherche au hasard, avec une ou deux solutions trouvées, à un inventaire plus systématique où les quatre possibilités sont découvertes. De la troisième à la cinquième année, on constate une forte progression dans l'organisation de la recherche.

Les écritures utilisées révèlent aussi la maîtrise du passage de longues additions à l'utilisation de produits comme, par exemple: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 x 8

Remarque
Cette version de "La cible" a été modifiée par rapport à celle d'origine dans sa variable "nombre de points", qui a passé de 34 à 40. Avec 34, il n'y avait que deux possibilités et, par conséquent pas de choix nécessaire ni d'obligation de chercher d'autres possibilités après avoir trouvé les deux premières.
D'autres problèmes sur le thème de la cible sont apparus dans les moyens d'enseignement romands et dans le RMT (Réf. B) sur le thèmes des totaux qu'on arrive à obtenir.

5. La ligne de partage (2RMT I problème 1)

Domaine de connaissances
- Géométrie: partage d'un carré et ligne droite

Analyse de la tâche

- Comprendre qu'il y a d'autres droites que celles passant par deux sommets opposés ou par deux milieux de côtés opposés qui partagent un carré en deux parties égales: celles qui passent par le centre;

- en déduire que la droite cherchée est celle qui passe par les deux centres;

- ou procéder par ajustements successifs.

Observations
Le problème demande un "déconditionnement" des partages habituels du carré. Certains élèves, qui ne peuvent pas se détacher de ces modèles peuvent aller jusqu'à "plier la droite" pour que, par exemple, elle passe par deux côtés opposés du carré supérieur gauche et partage horizontalement le carré inférieur.

Le problème est donc particulièrement difficile en troisième mais peut conduire, après l'épreuve, à de nombreuses découpages non conventionnels du carré en deux parties égales.

6. Carré magique (1RMT F problème 1)

Domaine de connaissances
- Arithmétique: sommes de nombres naturels
- Logique et raisonnement: observer une séquence déductive

Analyse de la tâche

- Comprendre la règle de construction du carré;

- déterminer la somme magique, 34, d'après la première ligne

- compléter, par additions lacunaires ou par addition et soustraction les termes qu'on peut calculer immédiatement, dans un ordre séquentiel: 8 et 6 (diagonale et deuxième colonne), puis 2 (deuxième ligne), puis 16 (première colonne) puis hypothèses pour placer les quatre derniers nombres: 4, 5, 10 et 15.

- rédaction et explicitation de la séquence déductive précédente et des hypothèses.

Observations
Lorsque la règle de construction est comprise, le carré se complète facilement. Ce sont les explications et la démarche de la séquence d'élaboration qui sont les plus intéressantes à évaluer.

Accessoirement, l'activité contraint les élèves à effectuer un grand nombre d'additions et soustractions et permet de renforcer les procédures de calcul réfléchi.

7. Jeu de construction (7RMT I problème 9 Réf: B)

Domaine de connaissances:
- Géométrie: vision dans l'espace, perspective
- Arithmétique: suite de carrés

Analyse de la tâche

- Comprendre que dans le modèle, on peut compter les carrés étage par étage: 1 + 4 + 9 + 16 = 30;

- imaginer, ou dessiner, ou construire effectivement un étage supplémentaire, puis un suivant, etc.;

- à partir d'un certain stade, voir apparaître la série 1 + 4 + 9 + 16 + ... + 100 = 1² + 2² + 3² + ... + 10² = 385.

Observations
On voit évidemment apparaître la réponse correcte (385), avec le détail de la somme (les dix termes), mais la qualité des explications peut varier sensiblement d'un groupe d'élèves à l'autre.

Une erreur fréquente est la réponse 110. Elle vient d'une simplification abusive en situation de proportionnalité: "on a compté qu'il y a 30 cubes sur la construction du dessin, il en faut 25 de plus pour cinq étages: 55. Il en faudra donc 110 pour 10 étages". Une autre erreur consiste à ne compter que les cubes visibles et à en obtenir 100.

Remarque
Ce problème a été repris dans l'édition 2002 du manuel Mathématiques 6^e, avec l'adjonction d'une question pour un empilement de 20 étages, dans le but de susciter un recours à l'idée d'application et de provoquer un conflit entre un cas de proportionnalité et la situation proposée où la

8. Carrelages (2RMT I problème 11)

Domaine de connaissances
- Géométrie: aire du rectangle et pavage
- Arithmétique: proportionnalité

Analyse de la tâche

- Déterminer le nombre de carreaux, d'après les espaces manquants sur le dessin: il y a encore de la place pour 3 dans la longueur et 2 dans la largeur et on aura au total 7 x 8 = 56 carreaux;

- compter les carreaux déjà placés: 20  et trouver qu'il en reste donc 36 à placer;

- déterminer la durée qui reste par proportionnalité: 20 carreaux en 3h, comme 36 carreaux en une durée à calculer: en passant par le coefficient de linéarité 36 x 3/20, en transformant les heures en minutes puis en utilisant les propriétés de linéarité comme 20 -> 180; 4 -> 36; 36 -> 324 ... pour arriver à 324 minutes ou 5h24mn ou 27/5 h.

Observations
Il y a beaucoup d'étapes à observer dans les protocoles de résolution. Tout d'abord la manière dont les élèves trouvent le nombre de carreaux manquants en longueur et en largeur et les justifications qu'ils en donnent: par dessin, par report, par mesurage et division, par estimation visuelle. Ensuite il est intéressant de savoir si le comptage des carrés restants se fait par comptage sur le dessin ou par des procédures arithmétiques. Finalement, on peut évaluer les capacités des élèves à se tirer d'affaire dans une situation de proportionnalité, avec, en prime, la transformation d'heures en minutes. On apprend alors dans quelle mesure ils maîtrisent les outils à leur disposition: nombres rationnels, équations pour les plus grands, propriétés de linéarité dans les procédures pas à pas, ...

9. A bas les profs ! (5RMT I problème 12, Réf: A)

Domaine de connaissances
- Logique et raisonnement: négation, exclusion, hypothèses, organisation des informations

Analyse de la tâche

- Organiser les données en tenant compte de toutes les information de l'énoncé;

- émettre des hypothèses, successives, sur le menteur et les vérifier;

- ou procéder par élimination à partir des déclarations de Jacques et Françoise qui sont contradictoires et permettent de savoir que le menteur est l'un des deux;

- justifier le raisonnement conduisant aux deux réponses: Françoise ment et c'est aussi elle qui a écrit au tableau noir.

Observations

Peu de groupes n'entrent pas dans le problème ou ne le comprennent pas, mais certains ont de la peine à donner une justification cohérente et à montrer qu'il n'y a qu'une seule solution possible, à répondre effectivement aux deux questions. On peut identifier de nombreux arguments affectifs comme "si c'est Françoise qui ment, c'est donc elle qui a écrit au tableau noir". On constate une nette progression dans la rigueur de l'argumentation de la cinquième à la huitième année.

10 Bordures (4RMT F problème 12, Réf:A, M-E 177)

Domaine de connaissances
- Géométrie: aire et périmètre du rectangle
- Arithmétique (algèbre):résolution d'équation pas à pas

Analyse de la tâche

- Commencer par quelques essais au hasard puis découvrir des variations d'un essai à l'autre;

- dresser alors un inventaire systématique des rectangles avec leur "intérieur" et leur "périmètre" en faisant varier une des deux dimensions et en laissant l'autre fixe;

- recommencer avec différentes dimensions fixes pour trouver toutes les solutions 6x8 et 5 x 12;

- ou, pour les élèves qui ont déjà des outils algébriques à disposition, poser et résoudre une équation du genre

2xy = (x + 2)(y + 2) en cherchant ses solutions qui sont des nombres naturels.

Observations

C'est dans l'organisation systématique des essais que réside l'obstacle essentiel de ce problème. Des élèves de 5^e et 6^e peuvent trouver une solution, voire les deux, par des essais successifs sur des dessins, où ils sont confrontés au conflit entre l'aire et le périmètre. Dès la sixième, on voit arriver des recherches systématiques qui permettent d'être certains qu'il n'y a que deux solutions: séries de rectangles de même largeur qui "s'allongent" progressivement, par exemple.

La mise en équation permet de se passer des dessins et de ne travailler que sur des tableaux de valeurs numériques ( la résolution algébrique fait appel à des instruments du niveau du secondaire supérieur).

11. Transports (7RMT I, problème 14)

Domaine de connaissances
- Arithmétique: division et multiplication
- Algèbre: équations

Analyse de la tâche

- Comprendre que le premier jour, le camion a transporté 288 caisses et que, le lendemain, si tous les voyages avaient été pleins, il aurait transporté 240 caisses;

- en déduire que la différence, correspondant à deux voyages est 48 caisses et qu'il y a donc 24 caisses par voyage;

- ou résoudre le système d'équations, où n représente le nombre de voyages du premier jour et c le nombre de caisses par camion: nc + 3 = 291 et (n-2)c - 11 = 229

- déterminer le nombre de voyages du premier jour: 288: 24 = 12 et du deuxième jour: 12 - 2= 10;

- ou procéder par essais successifs organisés.

Observations

Le problème est en général réussi par une majorité de groupes dès la septième année. Comme le montre l'analyse de la tâche, la résolution exige une succession d'opérations selon une chaîne déductive rigoureuse. En sixième, on voit apparaître fréquemment des lacunes ou des hypothèses non vérifiées dans cette chaîne. On peut ainsi évaluer, étape par étape, les raisonnements élaborés dans la résolution de ce problème.

12. Les pots de confiture (6RMTII problème 11, Réf: A, M-E 188)

Domaine de connaissances
- Arithmétique: addition et "résolution d'équations"
- Logique et raisonnement: règles d'échanges et d'équivalence

Analyse de la tâche

- Comprendre que des échanges peuvent être opérés pour faciliter les comparaisons;

- retirer 7 petits pots des deux rayons inférieurs, pour arriver à l'équivalence 2 grands ' 6 moyens ou

1 grand ' 3 moyens;

- trouver l'équivalence 1 moyen ' 3 petits par comparaison entre les deux rayons du haut;

- exprimer le contenu de chaque rayon avec 25 petits pots et en déduire que 1 petit ' 0,2 kg.

Observations
La réponse correcte et complète: 0,2 kg; 0,6 kg; 1,8 kg est difficile à obtenir pour des élèves de degrés 5 et 6 car elle met en 'uvre des outils de proportionnalité et une maîtrise de nombres décimaux. Mais la plupart des élèves sont capables de procéder aux premiers échanges et, par exemple, d'arriver aux équivalences mentionnées plus haut.

On a relevé aussi de nombreuses procédures par essais successifs: on fait des hypothèses sur les masses des différents pots pour un rayon et on les contrôle sur d'autres rayons. Malheureusement, ces tentatives échouent souvent car les hypothèses les plus fréquentes sont de considérer qu'un grand vaut 2 moyens ou qu'un moyen vaut 2 petits.

Mais ce travail n'est pas vain et, lors d'une reprise du problème, après l'épreuve, toutes les procédures peuvent être contrôlées, développées et exploitées pour la classe.

13. La mouche (7RMT I problème 15, B)

Domaine de connaissances:
- Géométrie: agrandissement (homothétie)
- Arithmétique: proportionnalité (fonction linéaire)

Analyse de la tâche

- Déterminer le facteur de réduction de la photographie à partir des deux rectangles et vérifier qu'il est le même pour les deux dimensions: 2,5/6 = 3,5/8,4 = 5/12, puis déterminer les coordonnées de la mouche sur la feuille et calculer les coordonnées correspondantes sur la photo;

- ou utiliser une procédure géométrique en traçant deux droites passant par la mouche et deux sommets d'angles de la feuille, puis en construisant des parallèles correspondantes sur la photo,;

- ou rechercher le centre d'homothétie, etc.

Observations
L'analyse de ce problème a fait apparaître une très grande variété de procédures: numériques pour la majorité, géométriques et mixtes. Dans les premières, le facteur de réduction peut être calculé sur l'un ou l'autre des dimensions, sur les deux ou simplement ou estimé d'une manière implicite. Les procédures géométriques font appel aux similitudes, aux homothéties à des quadrillages, ... Derrière la détermination de l'emplacement de la mouche, en général assez précis, il y a donc une grande quantité de démarches à évaluer.

14, L'enclos de la chèvre (7 RMTI problème 16, Réf: A)

Domaine de connaissances
- Géométrie: rectangle
- Arithmétique: addition et multiplication
- Mesure:aire et périmètre du rectangle

Analyse de la tâche

- Calculer la longueur des barrières à disposition (39)m et en déduire le périmètre maximum possible (38m);

- procéder par essais successifs;

- ou travailler systématiquement à partir du demi-périmètre (19m) en partant des dimensions 10 et 9, puis 11 et 8, 12 et 7 etc. et trouver que 11 x 8 est réalisable et donne une aire de 88 m^2;

- vérifier que toutes les autres possibilités donnent des aires inférieures à 88.

Observations
Il ne suffit pas de s'intéresser au périmètre, c'est l'aire qui détermine la quantité d'herbe à brouter. La plus grande de ces On peut imaginer un rectangle encore plus grand, de 9 x 11 = 90, dont le périmètre est aussi 38, mais les barrières ne permettent pas de le construire.

La règle à découvrir est que, plus les rectangles, de même périmètre, "ressemblent à un carré", plus leur aire est grande.

Remarque
Ce problème en est à sa deuxième version. La première (6RMT) donnait 35 mètres de barrières à disposition et permettait aux élèves de "tomber" sur la solution optimale au premier essai (6m x 11m). Dans une hypothétique version suivante, on pourrait imaginer que les longueurs des barrières exigent des essais plus poussés, au-delà du deuxième.

15. Fraction de terrain (6^e RMT I problème 12, Réf: A, M-E 190)

Domaine de connaissances
- Géométrie: figures équivalentes, parallélisme, milieux de segments
- Arithmétique: fractions

Analyse de la tâche
- Trouver un pavé commun à chacune des parties du terrain ou, au moins, à ses trois parties inférieures et voir que la partie grise est constituée de trois triangles isométriques à celui du bas à droite et celui du bas à gauche;
- constater que ces trois parties représentent le quart du terrain et en déduire que l'aire de la partie grise est 3/20 de celle du terrain;
- ou mesurer les pièces et calculer leur aire;
- ou encore choisir une unité et calculer les mesures et l'aire de la partie grise, en faisant appel à Pythagore.

Observations

Les procédure par calcul ou par mesurage conduisent à une réponse approximative et à des difficultés d'exprimer la fraction de terrain.

Remarque
Cette version du problème est différente de celle du problème mentionné en référence, où le segment de séparation ayant une origine au sommet inférieur droit était une diagonale.

Cet ancien problème s'était révélé trop simple pour des élèves de huitième année. Mais il reste valable aux degrés 7, 6, voire 5.

^[1] On peut reprendre des problèmes des 5e, 6e, 7e ou 8e RMT, publiés de 1997 à 1999 dans Math-Ecole: no 176, 177, 181, 182, 186, 187, 188, 190, 191 et 192