Les paramètres des individus

	En théorie des réponses aux items, deux situations peuvent se présenter en ce qui concerne l’estimation des paramètres relatifs aux items d’une part (difficulté, discrimination et pseudo-chance) et l’estimation des paramètres relatifs aux individus d’autre part (position de chaque sujets sur l’échelle définie par le trait latent: scores q). Le cas le plus simple est celui où les paramètres des items sont connus (suite, par exemple, à des études effectuées antérieurement) et, sur la base de ces éléments, on procède à l’estimation des paramètres pour les individus. Le deuxième cas est techniquement plus complexe et plus exigeant quant au nombre d’items et d’individus dont il faut disposer, car on ne connaît au départ ni les paramètres des items ni les paramètres des individus. Il s’agit donc d’estimer simultanément ces deux ensembles d’éléments. Dans le cadre de cet exposé, seul le premier cas sera brièvement évoqué.
	Comme nous l’avons vu, lorsqu’on connaît les paramètres d’un item, on peut définir sa fonction et sa courbe caractéristiques en utilisant les modèles usuels à un, deux ou trois paramètres). A l’aide de ces éléments il est alors possible de déterminer, pour chaque valeur de thêta, la probabilité qu’un item donné soit réussi [p(r)] ou non [p(e) = 1 – p(r)]. (Pour chaque score thêta, la valeur de p(r) peut être lue sur l’axe vertical: voir schéma).
	Si le test comporte k items on obtiendra donc un tableau de résultats analogue à celui-ci, où p(r)j désigne la probabilité de réussir le j-ième item de la série:
	Ces résultats permettent de calculer, pour tout score thêta, la probabilité d’obtenir une certaine configuration (un certain vecteur) de résultats. Dans le cas d’un instrument comportant 5 items dichotomiques du type échec ou réussite (et codés 0 ou 1), on peut par exemple calculer la probabilité p(1,1,0,1,0). d’obtenir la configuration comportant une réussite aux items 1, 2, 4 et un échec aux items 3, 5. Pour traiter ce problème, on fait appel à la propriété d’indépendance locale (voir page 12). Cette propriété étant supposée acquise, on peut appliquer un théorème fondamental de la théorie des probabilités, selon lequel la probabilité que se réalisent simultanément deux ou plusieurs événements aléatoires indépendants est égale au produit des probabilités associées à la réalisation de chacun de ces événements. Pour k événements aléatoires indépendants de terme générique Ej (j = 1 à k) on a donc:
	Ainsi, à propos de l’exemple précédent, la probabilité d’obtenir la série [1,1,0,1,0] sera:
	Cette démarche permet de calculer, pour chaque valeur de thêta, la probabilité p(C) d’obtenir une certaine configuration de résultats (par exemple la configuration C) …
			… et on attribue à l’individu qui possède cette configuration la valeur de thêta pour laquelle la probabilité p(C) est maximale *. Une conséquence importante de cette démarche est que (sauf dans le cas du modèle à un paramètre), deux individus caractérisés par le même score total (même nombre d’items réussis) n’obtiennent par forcément le même score thêta. La contribution des réussites et des échecs à la définition du score thêta dépend en effet du pouvoir de discrimination des items ainsi que du facteur de pseudo-chance qui leur est associé (tous les items ne "paient" pas de la même manière). (Le paramètre de difficulté a aussi une influence sur les scores thêta, mais cette influence est la même pour tous les individus).

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Sur le plan mathématique le problème consiste à déterminer le maximum d'une fonction. Il est donc résolu en ayant recours aux méthodes du calcul différentiel. Techniquement, l'estimation est exécutée en appliquant la méthode dite du maximum de vraisemblance, dont la mise en œuvre comporte notamment une transformation logarithmique. Par ailleurs, le maximum de la fonction est généralement obtenu par des procédés itératifs.