Les modèles

a) Le modèle de Rasch

Le modèle dit de Rasch constitue l'approche mathématique la plus simple utilisée dans le cadre de la théorie des réponses aux items pour modéliser la relation entre le trait latent de l'individu et sa probabilité de réussir correctement un item (définition de la fonction et de la courbe caractéristiques de l’item).

La simplicité du modèle de Rasch va de pair avec une contrainte particulièrement exigeante, puisque tous les items d'un test sont supposés avoir le même pouvoir discriminatif (égal à 1). S'appuyant sur ce postulat, le modèle définit la fonction en considérant une seule caractéristique de l'item (sa difficulté). Pour cette raison, on parle également de modèle à un paramètre.

Selon ce modèle, la probabilité P_j(q) de réussite à l'item j pour un individu qui possède le trait latent au niveau q est définie par l'équation suivante (e Þ base des logarithmes népériens; d_j Þ paramètre de difficulté):

b) Modèles à un, deux ou trois paramètres

Comme nous venons de le voir, l’équation de Rasch est l’exemple typique d’un modèle à un paramètre. Au niveau de sa formulation, on peut y ajouter un constante D (voir formule de gauche), sorte de facteur d’"échelonnement" implicitement égal à 1 dans le modèle présenté au point a) ci-dessus, mais qui peut assumer des valeurs différentes.

On montre notamment que lorsqu’on attribue à D la valeur 1.7 (voir formule de droite) la courbe caractéristique de l’item assume une allure très proche de l'ogive normale. Dans la pratique c’est donc souvent cette deuxième équation qui est appliquée lorsqu’on utilise le modèle à un paramètre.

P_j(q)

probabilité qu'un individu possédant à un certain degré (entre -3 et + 3) la caractéristique q réponde correctement à l'item;

d_j

paramètre de difficulté de ce même item;

e

base des logarithmes naturels (népériens): 2.7182...;

1.7

valeur attribuée à la constante D.

Une approche plus complexe du problème consiste à définir P_j(q) en faisant appel à deux paramètres: le paramètre de difficulté (d_j) et le paramètre de discrimination (a_j). C'est le modèle dit précisément à deux paramètres, appelé aussi parfois modèle de Birnbaum:

Enfin, lorsque l’instrument est composé d’items à choix multiple (deux ou plusieurs options de réponse proposées), il est également possible d’ajouter au modèle un troisième paramètre (modèle à trois paramètres). Il s’agit du paramètre de pseudo-chance (g_j), qui est supposé nul (égal à 0) dans le cas d’un modèle à un ou à deux paramètre(s):