Courbe caractéristique et fonction caractéristique d'un item

Comme nous venons de le signaler, la théorie des réponses aux items repose sur le postulat que la réussite à un item dépend – entre autres - du degré auquel l’individu possède une certaine caractéristique (compétence, aptitude, habileté, etc.): caractéristique désignée avec le terme de trait latent et représentée par la lettre grecque q (thêta).
Dans ce cadre, la relation entre le trait latent et la performance (réussite à l’item) est modélisée par une fonction (appelée fonction caractéristique de l'item: voir ci-dessous), et elle est représentée graphiquement par une courbe: la courbe caractéristique de l’item (CCI: schéma). Cette courbe présente la forme d'un S plus ou moins allongé et décrit le lien qui existe entre la situation des individus par rapport au trait latent (leur niveau d'aptitude plus ou moins élevé par exemple) et la probabilité que ces individus ont de réussir l'item.
Le trait latent étant supposé normalement distribué au sein de la population, il est exprimé sur une échelle de scores z, dont les valeurs sont pratiquement comprises entre -3 et +3 (distribution centrée et réduite). La définition de la courbe caractéristique d’un item peut être envisagée en considérant un ou plusieurs paramètres (modèles à un, deux ou trois paramètres), qui décrivent certaines propriétés importantes des items. Ce sont les paramètres dits de difficulté, de discrimination et de pseudo-chance *. Sur le plan mathématique, la fonction caractéristique de l’item est exprimée par une équation issue de la famille des fonctions logistiques, dont la formulation exacte dépend d’un certain nombre de facteurs et, notamment, du nombre de paramètres que le modèle comporte. A titre d’illustration, voici l’équation qui définit la fonction considérée dans cet exemple, où Pj(q) est la probabilité de réussite à l'item j pour un sujet de niveau thêta (q) et dj est un paramètre associé au même item (ici égal à 0) :
*)	Des modèles comportant un nombre de paramètres supérieur à trois sont cités par certains auteurs. Nous n’en parlerons pas ici, car ils sont très peu utilisés en sciences de l’éducation.